UKURAN
GEJALA PUSAT
Beberapa ukuran
dari gejala pusat adalah : rata – rata atau rata – rata hitung , rata – rata ukur , rata – rata harmonik dan modus .
A. Rata – rata atau rata – rata hitung
1.
Rata – rata hitung data tunggal
Nilai – nilai
data kuantitatif akan dinyatakan dengan apabila dalam kumpulan data itu terdapat
n buah nilai . simbol n juga akan dipakai untuk menyatakan ukuran sampel .
yakni banyak data atau obyek yang diteliti dalam sampel. Symbol N dipakai untuk
menyatakan ukuran populasi , yakni banyak anggota terdapat dalam populasi .
jika ada lima nilai ujian dari lima orang mahasiswa untuk mata kuliah
statistika berbentuk : 70 , 69 , 45 , 80 dan 56. maka dalam symbol ditulis : X1
= 70 X2 = 69, X3 = 45 , X4 = 80 , X5
= 56. Dalam hal ini n = 5 maka yang menyatakan sebuah sampel berukuran 5.
Rata – rata hitung untuk data kuantitatif yang
terdapat dalam sebuah sampel dihitung dengan jalan membegi jumlah nilai data
oleh banyak data . symbol rata – rata untuk sampel ialah 
( baca : eks garis/ eks bar ) sedangkan rata –
rata untuk populasi dipakai symbol μ (baca : mu ). Jadi x̅ adalah statistik dan μ adalah parameter untuk
menyatakan rata – rata . rumus untuk x̅ adalah :
( baca : eks garis/ eks bar ) sedangkan rata –
rata untuk populasi dipakai symbol μ (baca : mu ). Jadi x̅ adalah statistik dan μ adalah parameter untuk
menyatakan rata – rata . rumus untuk x̅ adalah :
x̅ = 70 + 69 + 45 + 80 + 56 = 64 .
n
2.
Rata –
rata kelompok
Xi
|
fi
|
70
|
5
|
69
|
6
|
45
|
3
|
80
|
1
|
56
|
1
|
Jika ada
lima mahasiswa mendapat nilai 70 , enam mendapat nilai 69 , tiga
mendapat nilai 45 dan masing – masing seorang mendapat nilai 80 dan 56 , maka
lebih baik data itu ditulis sebagai berikut :
xi : menyatakan nilai ujian dan
fi : menyatakan frekuensi untuk nilai xi yang
bersesuaian .
misal : f1 = 5 untuk x1 = 70 , f2 = 6 , untuk
x2 = 69
dan seterusnya . untuk data berbentuk demikian
, rumus rata – ratanya adalah :
Ialah hasil kali antara frekuensi dan nilai data
dibagi oleh jumlah frekuensi . untuk contoh diatas dianjurkan dibuat tabel
penolong seperti sebagai berikut :
Xi
|
fi
|
fi . xi
|
70
|
5
|
350
|
69
|
6
|
414
|
45
|
3
|
135
|
80
|
1
|
80
|
56
|
1
|
56
|
Jumlah
|
16
|
1035
|
Dari
tabel diatas , didapat : = 16 dan = 1035 .
Sehingga atau
x̅ = 1035
= 64, 6
6
Nilai
rata – rata ujian statistika untuk ke – 16 mahasiswa itu adalah 64,6 .
3.
Rata – rata gabungan .
Rumus IV ( 2) disebut
pula rumus rata – rata diboboti yang sering dipakai untuk memperbaiki rata –
rata yang dihitung oleh rumus IV ( 1 )
Contoh :
Data berikut merupakan
daftar barang yang disimpan digudang , diantaranya terdapat yang rusak .
Barang
|
Disimpan
|
Rusak
|
%
|
A
|
100
|
96
|
96
|
B
|
200
|
92
|
46
|
C
|
160
|
80
|
50
|
D
|
80
|
60
|
75
|
Jumlah
|
540
|
328
|
267
|
Jika rata – rata mengenai persen barang
yang rusak dihitung dengan rumus IV ( 1 ), maka :
x̅ = 96
+ 46 + 50 + 75 % = 66, 75 %
4
Tetapi barang
yang rusak ada 328 dari 540 . ini berarti 328 x
100 % = 60, 07 %. Hasil ini 540 540
didapat Dengan menggunakan rumus IV ( 2 ) seperti
dalam daftar berikut .
Xi ( % )
|
Fi
|
fi. Xi
|
96
|
100
|
96
|
46
|
200
|
92
|
75
|
160
|
80
|
75
|
80
|
60
|
Jumlah
|
540
|
328
|
Dalam tabel diatas ini , xi = persen yang
rusak , fi = banyak barang . dari tabel dan rumus IV ( 2 ) didapat :
x 100 %
=
328 x 100 %
540
=
60, 07 % .
Jadi , rata – rata terdapat 60 , 07
% barang yang rusak .
Selanjutnya kita
juga dapat menentukan rata – rata gabungan , yaitu rata – rata dari beberapa
sub sampel masing – masing dengan keadaan berikut :
Sub
sampel 1 : berukuran n1 , dengan rata – rata
x̅
Sub sampel 2 : berukuran n2 , dengan rata
– rata x̅
………………………………………………………………………………..
Sub sampel k : berukuran nk dengan rata – rata x̅k
Maka
rata – rata gabungan dari k buah sub sampel itu dihitung dengan :
Contoh :
tiga sub sampel
masing – masing berukuran 10,6 dan 8
sedangkan rata – ratanya masing –
masing 145 , 118 , dan 162 . adalah salah jika rata – rata gabungan dihitung
dengan rumus IV ( 1 ) , ialah :
x̅
= 145 + 118 + 162 = 141 ,
7
3
Yang
benar , harus dihitung dengan rumus IV (
3 ) , ialah :
x̅
= ( 10 ) + ( 145 ) + ( 6 ) + ( 118 )
+ ( 8 ) + ( 162 ) = 143,9 .
10 + 6 +
8
Untuk
data yang telah disusun dalam daftar distribusi frekuensi , rata – ratanya
dihitung dengan rumus IV ( 2 ) , ialah :
IV ( 4 )
……………………………….
Hanya disini Xi = tanda kelas interval dan fi =
frekuensi yang sesuai dengan tanda kelas
Xi
Contoh :
marilah kita
hitung rata – rata untuk nilai ujian statistika yang terdapat dalam daftar III ( 1
) halaman 45 . untuk keperluan ini kita buat tabel berikut :
Nilai
ujian
|
Frek
.
fi
|
Tanda
kel.
Xi
|
Produk
fixi
|
31
– 40
|
1
|
35,5
|
35,5
|
41
– 50
|
2
|
45,5
|
91,0
|
51
– 60
|
5
|
55,5
|
277,5
|
61
– 70
|
15
|
65,5
|
982,5
|
71
– 80
|
25
|
75,5
|
1.887,5
|
81
– 90
|
20
|
85,5
|
1.710,0
|
91
– 100
|
12
|
95,5
|
1.146,0
|
Jumlah
|
80
|
458,5
|
6.130,0
|
Catatan : frekuensi berbeda dari
yang terdapat dalam daftar III ( 1 ) .
Dari tabel
diatas didapat : = 80 dan
= 6130,0 . Rumus IV ( 4 ) memberikan :
x̅
= 6130,0 = 76,
62
80
Rata
– rata nilai statistika 76 , 62
Dalam
perhitungan dia atas , diambil tanda kelas yaitu setengah dari jumlah ujung
bawah dan ujung atas , sebagai wakil tiap kelas interval . jadi , telah
dianggap ada mahaiswa yang mendapat nilai 35,5 , ada dua orang yang mendapat
nilai 45,5 dan begitu seterusnya .
Cara
kedua untuk menghitung rata – rata dari data dalam daftar distribusi frekuensi
ialah dengan cara sandi atau cara singkat . untuk ini ambil salah satu
tanda kelas , namakan x0. Untuk harga x0
ini diberi nilai sandi c = 0 . tanda kelas yang lebih dari x0 berturut – turut
diberi harga sandi c = - 1 , c = - 2 , c = - 3 , dan seterusnya. Tanda kelas
yang lebih besar dari x0 berturut – turut mempunyai harga – harga sandi c = + 1
, c = + 2 , c = + 3 dan seterusnya . dengan ini semua jika p = panjang kelas
interval yang sama besarnya , maka rata – rata dihitung oleh :
IV
( 5 ) …………………………. x̅ = X0 + P ( )
Contoh :
untuk data nilai ujian matematika 80
mahasiswa kita perlu menyusun tabel berikut :
Nilai
ujian
|
Fi
|
xi
|
ci
|
fi.
ci
|
31
– 40
|
1
|
35,5
|
-4
|
-4
|
41
– 50
|
2
|
45,5
|
-3
|
-6
|
51
– 60
|
5
|
55,5
|
-2
|
-10
|
61
– 70
|
15
|
65,5
|
-1
|
-15
|
71
– 80
|
25
|
75,5
|
0
|
0
|
81
– 90
|
20
|
85,5
|
1
|
20
|
91
– 100
|
12
|
95,5
|
2
|
24
|
Jumlah
|
80
|
-
|
-
|
9
|
Telah diambil x0 = 75,5 dan nilai sandi c = 0 telah
diberikan untuk ini . harga – harga c
=-1, c
= -2 , c = -3 , c = -4 telah diberikan berturut – turut untuk tanda –
tanda kelas 65,5 ; 55,5 ; 45,5 ; dan 35,5 . tanda kelas yang lebih besar dari
x0 = 75,5 berturut – turut diberi harga c = 1 dan c = 2 . karena p = 10 , maka
dengan rumus IV ( 5 ) , dengan =
9 , didapat :
x̅ = 75 ,5 + ( 10 ) . ( 9 ) = 76 , 62
80
Hasil
yang sama dengan ketika menggunakan rumus IV ( 4 ) . ini memang demikian , dan
sebenarnya rumus IV ( 5 ) didapat dari rumus IV ( 4 ) dengan menggunakan rumus
transformasi ci = xi – x0 berdasarkan sifat :
P
a.
Jika
tiap nilai data xi ditambah / dikurangi dengan sebuah bilangan tetap d , maka
rata – rata x̅ untuk data baru
bertambah / berkurang dengan d dari rata – rata data lama .
b. Jika tiap data xi
dikalikan dengan sebuah bilangan tetap d , maka rata – rata x̅
untuk data baru menjadi d dikali rata – rata data lama .
ontoh :
Nilai Statistik dari 10 mahasiswa STMIK adalah sebagai berikut :
8 6 6 7 8 7 7 8 6 6
jadi meannya adalah
b. Data tunggal sebagian atau seluruh skornya berfrekuensi lebih dari satu
Maka
Cara mencari mean data kelompok ada dua , yaitu cara panjang dan cara pendek (sandi).
a) Cara panjang
Adapun langkah- langkanya adalah sebagai berikut :
1. Ambil sembarang tanda kelas ( biasanya yang letaknya ditengah) , misalnya x0
2. Hitung ci dengan rumus
dimana p merupakan panjang interval
3. Rumusan mean dengan cara pendek
Contoh diperoleh rata-rata sebagai berikut :
a. Cara panjang
Berdasarkan persamaan pada cara panjang diperoleh rata-rata hitung dari data tersebut adalah
b. Cara pendek / sandi
Diambil x0 = 63,5 (tanda kelas ke-4) dan diketahui p = 8, maka diperoleh
Berdasarkan persamaan pada cara pendek/sandi diperoleh rata- rata hitung
Contoh :
Pada nilai rata-rata ujian tersebut untuk ke-16 mahasiswa itu ialah :
Contoh :
Tiga sub sampel masing-masing berukuran 10, 6, 8 dan rata-ratanya 145, 118, dan 162. Berapa rata-ratanya?
Jawab
dengan
b = batas bawah kelas modus yaitu kelas interval dengan frekuensi terbanyak
p = panjang interval kelas modus
b1 = frekuensi kelas modus dikurangi frekuensi kelas sebelum kelas modus
b2 = frekuensi kelas modus dikurangi frekuensi kelas sesudah kelas modus
Jika rumus di atas digunakan untuk mencari modus dari tabel di bawah ini
Maka diperoleh :
a. kelas modus = kelas ke-4
b. b = 59,5
c. b1 = 15 – 6 = 9
d. b2 = 15 – 13 = 2
e. p = 8
2. Diketahui data sebagai berikut.
b. Data kelompok ( dalam distribusi frekuensi)
Untuk data yang disusun dalam daftar distribusi frekuensi, median dihitung dengan rumus :
dengan
b = batas bawah kelas median
p = panjang kelas median
n = jumlah data
F = jumlah frekuensi kumulatif sebelum kelas median
f = frekuensi kelas median
ontoh :
Nilai Statistik dari 10 mahasiswa STMIK adalah sebagai berikut :
8 6 6 7 8 7 7 8 6 6
jadi meannya adalah
b. Data tunggal sebagian atau seluruh skornya berfrekuensi lebih dari satu
Maka
dengan xi merupakan nilai data
c. Data kelompok (dalam distribusi frekuensi)Cara mencari mean data kelompok ada dua , yaitu cara panjang dan cara pendek (sandi).
a) Cara panjang
dengan xi merupakan tanda kelas dari interval ke-i
dan f merupakan frekuensi interval ke-i
b) Cara pendek / sandidan f merupakan frekuensi interval ke-i
Adapun langkah- langkanya adalah sebagai berikut :
1. Ambil sembarang tanda kelas ( biasanya yang letaknya ditengah) , misalnya x0
2. Hitung ci dengan rumus
dimana p merupakan panjang interval
Contoh diperoleh rata-rata sebagai berikut :
a. Cara panjang
Berdasarkan persamaan pada cara panjang diperoleh rata-rata hitung dari data tersebut adalah
b. Cara pendek / sandi
Diambil x0 = 63,5 (tanda kelas ke-4) dan diketahui p = 8, maka diperoleh
Berdasarkan persamaan pada cara pendek/sandi diperoleh rata- rata hitung
2. Rata-rata Tertimbang
Rata-rata tertimbang adalah rata-rata
yang memperhitungkan frekuensi dari tiap-tiap nilai variabel. Rumus
untuk rata-rata ini adalah :
Jika 5 mahasiswa mendapat nilai 70 : 6
mahasiswa mendapat 69 : 3 mahasiswa mendapat nilai 45 : 1 seorang
mahasiswa mendapat nilai 80 : 1 dan seorang lagi mendapat nilai 56 untuk
data tersebut sebaliknya ditulis sebagai berikut :
Pada nilai rata-rata ujian tersebut untuk ke-16 mahasiswa itu ialah :
3. Rata-rata Gabungan
Rata-rata gabungan, yaitu rata-rata dari
beberapa sampel lalu disajikan satu. Rata-rata gabungan adalah cara yang
tepat untuk menggabungkan rata-rata hitung dari beberapa sampel.
Contoh :
Tiga sub sampel masing-masing berukuran 10, 6, 8 dan rata-ratanya 145, 118, dan 162. Berapa rata-ratanya?
Jawab
MODUS (Mo)
Modus adalah nilai yang mempunyai frekuensi paling banyak. Modus tidak harus tunggal,artinya nilainya bisa lebih dari satu. Adapun cara mencari modus untuk data tunggal tinggal dilihat frekuensinya. Untuk data dalam daftar distribusi frekuensi, modus ditentukan dengan rumus :
Modus adalah nilai yang mempunyai frekuensi paling banyak. Modus tidak harus tunggal,artinya nilainya bisa lebih dari satu. Adapun cara mencari modus untuk data tunggal tinggal dilihat frekuensinya. Untuk data dalam daftar distribusi frekuensi, modus ditentukan dengan rumus :
dengan
b = batas bawah kelas modus yaitu kelas interval dengan frekuensi terbanyak
p = panjang interval kelas modus
b1 = frekuensi kelas modus dikurangi frekuensi kelas sebelum kelas modus
b2 = frekuensi kelas modus dikurangi frekuensi kelas sesudah kelas modus
Jika rumus di atas digunakan untuk mencari modus dari tabel di bawah ini
Maka diperoleh :
a. kelas modus = kelas ke-4
b. b = 59,5
c. b1 = 15 – 6 = 9
d. b2 = 15 – 13 = 2
e. p = 8
MEDIAN (Me)
Median adalah suatu nilai yang membagi distribusi data menjadi dua bagian yang sama besar atau suatu nilai yang menbagi 50% frekuensi bagian atas dan 50% frekuensi bagian bawah, sehingga frekuensi yang terdapat di atas sama dengan frekuensi yang trdapat di bawah. Oleh karena itu median dari sejumlah data tergantung pada frekuensinya bukan variasi nilai- nilainya.
Adapun cara mencari median, antara lain :
Median adalah suatu nilai yang membagi distribusi data menjadi dua bagian yang sama besar atau suatu nilai yang menbagi 50% frekuensi bagian atas dan 50% frekuensi bagian bawah, sehingga frekuensi yang terdapat di atas sama dengan frekuensi yang trdapat di bawah. Oleh karena itu median dari sejumlah data tergantung pada frekuensinya bukan variasi nilai- nilainya.
Adapun cara mencari median, antara lain :
a. Data tunggal sebagian atau seluluh skornya berfrekuensi lebih dari satu
Sebelum dihitung mediannya, data diurutkan lebih dulu dari data yang terkecil ke yang terbesar. Rumusan median untuk data tunggal dibedakan jadi dua, yaitu :
Sebelum dihitung mediannya, data diurutkan lebih dulu dari data yang terkecil ke yang terbesar. Rumusan median untuk data tunggal dibedakan jadi dua, yaitu :
Contoh
1. Untuk contoh tabel sebelumnya dengan data 8 6 6 7 8 7 7 8 6 6.
Setelah data diurutkan diperoleh 6 6 6 6 7 7 7 8 8 8. Jumlah data genap sehingga untuk mencari median digunakan rumus di atas dan diperoleh
1. Untuk contoh tabel sebelumnya dengan data 8 6 6 7 8 7 7 8 6 6.
Setelah data diurutkan diperoleh 6 6 6 6 7 7 7 8 8 8. Jumlah data genap sehingga untuk mencari median digunakan rumus di atas dan diperoleh
Tentukan median dari data di atas!
Untuk data di atas diketahui n ganjil, sehingga untuk mencari median digunakan rumus pertama dan diperoleh :
b. Data kelompok ( dalam distribusi frekuensi)
Untuk data yang disusun dalam daftar distribusi frekuensi, median dihitung dengan rumus :
dengan
b = batas bawah kelas median
p = panjang kelas median
n = jumlah data
F = jumlah frekuensi kumulatif sebelum kelas median
f = frekuensi kelas median
Contoh
Dari tabel sebelumnya diperoleh kelas median terletak pada interval ke-4, sehingga diperoleh b = 59,5 ; p = 8; n = 50 ; F = 15 dan f = 15 akibatnya
Dari tabel sebelumnya diperoleh kelas median terletak pada interval ke-4, sehingga diperoleh b = 59,5 ; p = 8; n = 50 ; F = 15 dan f = 15 akibatnya
B.
Rata – rata ukur
Jika
perbandingan tiap dua data berurutan tetap atau hampir tetap , rata – rata ukur
lebih baik dipakai daripada rata – rata hitung , apabila dikehendaki rata –
ratanya . untuk data bernilai x1 , x2 ………….. xn , maka rata – rata ukur U di
definisi sebagai :
IV
( 6 )
Yaitu akar pangkat n dari produk ( x1 .
x2 . x3 ………….. xn )
Contoh : rata – rata ukur untuk data x1 =
2, x2 = 4 dan x3 = 8 adalah
= 4
Untuk bilangan bernilai
besar , lebih baik digunakan logaritma . rumus IV ( 6 ) menjadi :
IV ( 7 ) ………………………………………..
n
yakni logaritma rata – rata ukur U sama
dengan jumlah logaritma tiap data dibagi oleh banyak data . rata – rata ukur
U akan didapat dengan cara mencari
kembali logaritmanya .
contoh : sekedar menunjukkan penggunaan
rumus IV ( 7 ) . kita ambil x1 = 2 , x2 = 4 dan x3 = 8 maka log 2 = 0, 310 ;
log 4 = 0, 6021 dan log 8 = 0, 9031 .
log
U = log2 + log 4 + log 8
3
Atau
log U = 0,3010 + 0,6021 + 0,9031 = 0.6021
3
Sehingga setelah dicari kembali akhir
dari logaritma , rata – rata ukur U = 4
Untuk fenomena yang bersifat tumbuh dengan syarat – syarat
tertentu seperti pertumbuhan penduduk , bakteri dan lain – lain , sering
digunakan rumus yang mirip rata – rata ukur ialah :
IV
( 8 ) ………………… pt = pn ( 1 + x̅ ) t
100
Dengan = p0 = keadaan awal atau permulaan
= pt = keadaan akhir
= x̅
= rata – rata pertumbuhan penduduk setiap satuan waktu .
= t = satuan waktu yang digunakan
.
Contoh
:
Penduduk Indonesia pada akhir tahun 1946 ada
60 juta sedangkan akhir tahun 1956 mencapai 78 juta . untuk menentukan laju
pertumbuhan rata – rata penduduk Indonesia tiap tahun maka kita pakai rumus IV
( 8 ) dengan t = 10 , p0 = 60 dan pt = 78 .
Maka
didapat :
78
= 60 ( 1 + x̅ )
10
100
Atau
1, 8921 = 1, 7782 + ( 10 ).log ( 1 + x̅ )
100
Menghasilkan
( 1 + x̅ ) = 1,0267 à x̅
= 2, 67
100
Laju
pertumbuhan = 2 , 67 % tiap tahun .
Untuk
data yang telah disusun dalam daftar distribusi frekuensi rata – rata ukurnya dihitung dengan rumus :
IV
( 9 ) ……………………
Dengan xi seperti biasa
menyatakan tanda , fi = frekuensi yang sesuai dengan xi dan harga rata – rata
ukur U dicari kembali dari log U .
Contoh : untuk data dalam daftar III ( 1
) tentang nilai mata ujian 80 mahasiswa kita bentuk dalam tabel berikut :
Nilai ujian
|
Fi
|
Xi
|
Log xi
|
fi log xi
|
( 1 )
|
( 2 )
|
( 3 )
|
( 4 )
|
( 5 )
|
31 – 40
|
1
|
35,5
|
1,5502
|
1,5502
|
41 – 50
|
2
|
45,5
|
1,6580
|
3,3160
|
51 – 60
|
5
|
55,5
|
1,7443
|
8,7215
|
61 – 70
|
15
|
65,5
|
1,8162
|
27,2430
|
71 – 80
|
25
|
75,5
|
1,8779
|
46,9475
|
81 – 90
|
20
|
85,5
|
1,9320
|
38,6400
|
91 – 100
|
12
|
95,5
|
1,9800
|
23,7600
|
Jumlah
|
80
|
-
|
-
|
150,1782
|
Kolom 3 adalah tanda
kelas , kolom 4 adalah merupakan logaritma dari kolom 3 dan kolom 5 adalah
menyatakan hasil kali antara kolom 2 dan kolom 4 . didapat = 150 ,1782 dan =
80
Log
U = 150 ,1782 = 1,8772
80
Yang menghasilkan U = 75 , 37
Nilai ujian itu mempunyai nilai rata –
rata ukur 75 , 37 .
C. Rata – rata harmonik
Rata – rata yang
ketiga adalah rata – rata harmonik . salah satu penerapan rata – rata harmonik
adalah pada analisis variansi dua jalan atau lebih dengan sel tak sama yang
akan dibahas pada bab XIII .
|
IV ( 10 )
……………………………
Contoh
:
|
= 5,87
Untuk
data dalam distribusi frekuensi , maka rata – rata harmonic dihitung dengan
rumus
Dengan xi = tanda kelas interval
dan fi = frekuensi yang sesuai dengan tanda kelas xi .
Contoh : jika
untuk nilai ujian dalam daftar III ( 1 ) dihitung rata – rata harmoniknya ,
maka tabel berikut diperlukan .
Nilai
ujian
|
fi
|
xi
|
Fi/xi
|
1
|
2
|
3
|
4
|
31
– 40
|
1
|
35,5
|
0,0282
|
41
– 50
|
2
|
45,5
|
0,0440
|
51
– 60
|
5
|
55,5
|
0,0901
|
61
– 70
|
15
|
65,5
|
0,2290
|
71
– 80
|
25
|
75,5
|
0,3311
|
81
– 90
|
20
|
85,5
|
0,2339
|
91
– 100
|
12
|
95,5
|
0,1256
|
Jumlah
|
80
|
-
|
1,0819
|
Kolom
( 3 ) merupakan tanda kelas dan kolom ( 4 ) adalah hasil bagi kolom ( 2 ) oleh
kolom ( 3 ) dari tabel didapat =
1, 0819 = 80 , sehingga dengan rumus IV ( 11 )
diperoleh :
H = 8 0 =
73 , 94
1,0819
Rata – rata harmonic
untuk ujian tersebut adalah = 73 , 94 .
Untuk itu , data dalam daftar III ( 1 )
telah didapat x̅ = 76,62 , U = 75,37 dan H = 73,94 .
ternyata terdapat hubungan H < U < x̅ . secara umum berlaku : H < U <
x̅
D. Modus
Untuk
menyatakan fenomena yang paling banyak terjadi atau paling banyak terdapat
digunakan ukuran modus disingkat Mo . ukuran ini juga dalam keadaan tidak
disadari sering dipakai untuk menentukan rata – rata data kuantitatif . jika
kita dengar atau baca : kebanyakan kematian di Indonesia disebabkan oleh
penyakit malaria , pada umumnya kecelakaan lalu lintas karena kecerobohan
pengemudi . maka ini tiada lain masing – masing merupakan modus penyebab
kematian dan kecelakaan lalu lintas .
Modus
dari sekelompok nilai X1 , X2 , X2 , X3 , ……….. Xn adalah nilai ( atau nilai –
nilai yang tertinggi ) . berdasarkan pernyataan tersebut dapat dikatakan bahwa
modus adalah nilai ( nilai – nilai
) yang frekuensi tinggi . dalam hal semua data mempunyai frekuensi kemunculan
yang sama , maka dikatakan bahwa tidak ada data yang mempunyai frekuensi yang
tertinggi . dengan demikian dalam hal semua data mempunyai frekuensi yang sama
, maka tidak ada modus pada kumpulan data tersebut .
Modus
untuk data kuantitatif ditentukan dengan jalan menentukn frekuensi terbanyak
diantara data itu .
Contoh : terdapat sampel dengan
nilai – nilai data :
12 , 34 , 14 , 34 , 28 , 34 , 34 ,
28 , 14 . dalam tabel dapat disusun seperti dibawah ini .
Frekuensi terbanyak ialah f = 4 , terjadi untuk data bernilai 34 . maka
modus Mo = 34 .
Xi
|
fi
|
12
|
1
|
14
|
2
|
28
|
2
|
34
|
4
|
Jika data
kuantitatif telah disusun dalam daftar
distribusi frekuensi , modusnya dapat ditentukan dengan rumus :
IV ( 13 ) ……………… Mo = b + p ( )
Dengan b = batas kelas modal ,
ialah kelas interval dengan frekuensi terbanyak .
P = panjang kelas modal
b1= frekuensi modal dikurangi frekuensi kelas
interval dengan tanda kelas yang lebih kecil
sebelum tanda kelas normal .
b2=
frekuensi kelas modal dikurangi frekuensi kelas interval dengan tanda kelas
yang lebih besar sesudah tanda kelas modal .
jika rumus IV ( 13 ) digunakan untuk mencari modus
Mo dari data dalam daftar III ( 1 ) , maka dari daftar berikut diperoleh :
daftar
IV ( 2 )
Nilai
ujian
|
f1
|
31
– 40
|
1
|
41
– 50
|
2
|
51
– 60
|
5
|
61
– 70
|
15
|
71
– 80
|
25
|
81
– 90
|
20
|
91
– 100
|
12
|
Jumlah
|
80
|
Kelas modal = kelas kelima
b = 70, 5
b1
= 25 – 15 = 10
b2
= 25 – 20 = 5
p
= 10 .
Mo
= 70,5 + (10) ( )
Mo
= 77,17
Modus , dibandingkan dengan ukuran lainnya , tidak tunggal
adanya . ini berarti sekumpulan data bisa mempunyai lebih dari sebuah modus .
Contoh :
Diberikan data seperti dibawah ini .
xi
|
Fi
|
75
|
8
|
60
|
7
|
92
|
8
|
64
|
7
|
35
|
2
|
Dapat dilihat bahwa ada masing – masing bernilai 75 dan 92 . ini
menyatakan bahwa modusnya ada dua , ialah 75 dan 92 .
E. MEDIAN
Median disebut juga nilai tengah karena letak median ada
ditengah – tengah kumpulan data kalau
data tersebut diurutkan . dengan perkataan lain , median adalah suatu nilai
yang membelah sekelompok data menjadi dua bagian yang cacahnya ( banyaknya )
sama.
Untuk
membicarakan median , diperkenalkan lambing X (i) , yang berarti nilai pada
urutan ke – i setelah datanya diurutkan dari kecil ke yang besar .
Median menentukan letak
data setelah data itu disusun menurut urutan nilainya . kalau nilai median sama
dengan Me , maka 50% dari data harga – harganya paling tinggi sama dengan Me
sedangkan 50% lagi harga – harganya paling rendah sama dengan Me .
Jika banyak data ganjil , maka median Me
, setelah data disusun menurut nilainya , merupakan data paling tengah .
Contoh
:
Sampel
dengan data = 4 , 12 , 5 ,7 ,8 , 10 , 10 setelah disusun menurut nilainya
menjadi : 4 , 5 , 7 , 8 , 10 , 10 , 12 . data paling tengah bernilai 8 jadi Me
= 8 .
Untuk
sampel ukuran genap setelah data disusun menurut urutan nilainya , mediannya
sama dengan rata – rata hitung dua data tengah .
Contoh
:
Diberikan
sampel dengan data 4 , 12 , 7 , 8 , 14 , 16 , 19 , 10 , 8 . setelah disusun
menurut nilainya menjadi : 7 , 8 , 8 ,
10 , 12 ,14 , 16 , 19 . maka nilai tengahnya ialah 10 dan 12 ; sehingga median
Me = ½ ( 10 + 12 ) = 11 .
Untuk
data yang telah disusun dalam daftar distribusi frekuensi , mediannya dihitung
dengan rumus :
Me
= b + p ( )
Dengan
b = batas bawah nilai median
p = panjang kelas median
n = ukuran sampel atau banyak data
F = jumlah semua frekuensi dengan tanda kelas lebih dari tanda kelas
median .
f = frekuensi kelas median .
