Kurva Normal / Distribusi Normal

A. Pendahuluan
Kenyataan sehari-hari sering kali kita mendengar adanya pernyataan ”mungkin  dan atau tidak mungkin”, secara spesifik pernyataan tersebut dapat diartikan sebagai gambaran sebuah pernyataan ”kepastian dan atau ketidak pastian” yang dapat dikatakan sebagi probabilitas atau kemungkinan. Kaitan dengan kehidupan sehari-hari sering kali dihadapkan dengan asumsi-asumsi probabilitas, seperti kemungkinan terjadi lonjakan harga, kemungkinan terjadinya gejolak dimasyarakat akibat kenaikan harga. Pada pokok bahasan ini mengkanji teori dan kegunaan pendugaan statistika (probabilitas), meliputi: pendugaan titik parameter dan interval, kesalahan standar dari rata-rata hitung sampel; penentuan interval keyakinan baik secara rata-rata dan proporsi serta selisih rata-rata dan proporsi dan memilih ukuran sampel.
B. Pengertian dan Kegunaan Pendugaan Statistika (Probabilitas)
Probabilitas adalah ukuran mengenai kemungkinan akan terjadinya peristiwa (event). Di dalam probabilitas dimungkinkan adanya ruang sampel yang merupakan himpunan dari kejadian-kejadian yang mungkin terjadi pada suatu peristiwa. Kegunaan pendugaan statistik (probabilitas) antara lain:
1. Dasar pengambilan keputusan
2. Memperkecil tingkat resiko dan ketidak pastian dalam pelaksaan kegitan
3. Mengurangi konflik adanya sebuah keputusan
4. Dapat memproyeksikan kemungkinan yang akan terjadi dimasa datang
C. Pendugaan Titik Parameter & Interval
1. Pendugaan Titik Parameter
Pendugaan titik parameter apabila terjadi atau tidak terjadinya peristiwa tidak saling mempengaruhi pada kemungkinan kejadian lainnya. Pendugaan titik parameter adalah penduga tunggal sebagai fungsi unsur populasi. Formulasi untuk menentukan pendugaan titik parameter adalah sebagai berikut:

Sifat-sifat pendugaan statistika (probabilitas) yaitu:
1. Penduga Tidak Bias
Penduga titik dikatakan tidak bias (unbiased estimator) jika di dalam sampel random yang berasal dari populasi, rata-rata atau nilai harapan (expexted value) dari statistik sampel sama dengan parameter populasi () atau dapat dilambangkan dengan E( ) = . Berikut ini akan disajikan gambar pendugaan bias dan tidak bias sebagai berikut:
Gambar 4.1. Pendugaan Bersifat Tidak Bias dan Bias

2. Penduga Efisien
Penduga yang efisien (efficient estimator) adalah penduga yang tidak bias dan mempunyai varians terkecil (sx2) dari penduga-penduga lainnya. Gambar pendugaan bersifat efisien adalah:
Gambar 4.2. Pendugaan Bersifat Efisien

3. Penduga Konsisten
Penduga yang konsisten (consistent estimator) adalah nilai dugaan ( ) yangsemakin mendekati nilai yang sebenarnya dengan semakin bertambahnya jumlah sampel (n). Gambar pendugaan bersifat efisien adalah:
Gambar 4.3. Pendugaan Bersifat Konsisten

2. Pendugaan Interval
Pendugaan interval adalah menyatakan jarak di dalam mana suatu parameter populasi mungkin berada. Rumus untuk menentukan pendugaan interval adalah:

Contoh pendugaan interval dengan menentukan jumlah sampel setiap stratum

Pada gambar terlihat untuk interval keyakinan 95% terhubungkan dengan nilai Z antara –1,96 sampai 1,96. Ini dapat diartikan juga bahwa 95% dari rata-rata hitung sampel akan terletak di dalam 1,96 kali standar deviasinya. Sedangkan untuk keyakinan 99%, maka rata-rata hitungnya juga akan terletak di dalam 2,58 kali standar deviasinya. Interval keyakinan juga dapat dituliskan untuk C= 0,95 adalah 1,96x dan untuk C=0,99 adalah 2,58sx.

Luas kurva adalah 1, dan simetris yaitu sisi kanan dan kiri luasnya sama yaitu 0,5. Nilai C= 0,95 apabila dibagi menjadi dua bagian simetris maka menjadi 0,4750 yang diperoleh dari 0,95/2. Apabila digunakan tabel luas di bawah kurva normal untuk probabilitas 0,4750 maka akan diperoleh nilai Z sebesar 1,96. Begitu juga untuk C= 0,99, maka probabilitasnya adalah 0,99/2 = 0,4950, nilai probabilitas ini terhubung dengan nilai Z= 2,58. Setelah menemukan nilai Z dan standar deviasinya, maka dapat dibuat interval keyakinan dengan mudah misalnya untuk C= 0,95 adalah P(– 1,96sx < m <  + 1,96sx) = 0,95 sedang untuk C= 0,99 adalah P( – 2,58sx < m < + 2,58sx) = 0,99.

Pada gambar di atas terlihat bahwa interval 1 dengan nilai rata-rata interval 95 dengan rata-rata 95 mengandung nilai parameternya yaitu dan hanya 96 sampai 100 atau 5% interval saja yang tidak dari statistik mengandung m. Jadi interval keyakinan C= 95 dapat diartikan bahwa sebanyak 95% interval mengandung nilai parameter aslinya yaitu m dan hanya 5% yang tidak mengandung parameternya.
D. Kesalahan Standar dari Rata-rata Hitung Sampel
Kesalahan standar dari rata-rata hitung sampel adalah standar deviasi distribusi sampel dari rata-rata hitung sampel. Kesalahan standar dari rata-rata hitung dihitung dengan rumus sebagai berikut:

E. Interval Keyakinan
Interval keyakinan merupakan derajat tingkat kepercayaan terhadap suatu hasil pengujian yang telah ditetapkan. Berikut ini disajikan skema proses interval keyakinan.
Gambar 4.4. Skema Proses Interval Keyakinan

1. Interval Keyakinan Rata-rata dan Proporsi
A. Interval keyakinan untuk rata-rata hitung diformulasikan :

Untuk populasi yang terbatas, faktor koreksi menjadi (N-n)/N-1. Nilai merupakan rata-rata dari sampel, sedangkan nilai Z untuk beberapa nilai C Contoh interval keyakinan rata-rata hitung:Berdasarkan pada nilai Z dan diasumsikan bahwa n>30 maka dapat disusun interval beberapa keyakinan sebagai berikut:

1. Interval keyakinan 99%:  2,58 s/n
2. Interval keyakinan 98%:  2,33 s/n
3. Interval keyakinan 95%:  1,96 s/n
4. Interval keyakinan 90%:  1,65 s/n
5. Interval keyakinan 85%:  1,44 s/n
6. Interval keyakinan 95%:  1,28 s/n
Interval keyakinan tersebut dapat juga digambarkan sebagai berikut:
Gambar 4.5. Interval Keyakinan Hitung

Nilai parameter yang sebenarnya diharapkan adan terdapat pada interval 1 -dengan batas bawah -Z/2 dan batas atas Z/2.
b. Interval keyakinan untuk Proporsi diformulasikan :
1) Untuk populasi yang tidak terbatas

2) Untuk populasi yang terbatas

Bentuk pendugaan proporsi populasi dirumuskan sebagai berikut:
Probabilitas (p - Z/2.Sp<P< p + Z/2.Sp)Di mana:
p  : Proporsi sampel
Z/2 : Nilai Z dari tingkat keyakinan 
P  :Proporsi populasi yang diduga
Sp  : Standar error/kesalahan dari proporsi
C  :Tingkat keyakinan  :1 – C
Selanjutnya ada beberapa pendekatan distribusi sampling yang digunakan untuk mengukur Interval Keyakinan Rata-rata dan Proporsi yaitu:
1. Distribusi normal dan standar deviasi populasi diketahui dengan rumus:
Di mana:

: Rata-rata dari sampel
Z/2  : Nilai Z dari tingkat kepercayaan 
  : Rata-rata populasi yang diduga
x  : Standar error / kesalahan standar dari rata-rata hitung sampel
C  : Tingkat keyakinan = (1 – C)
2. Distribusi normal dan standar deviasi populasi tidak diketahui dengan rumus:
a. Standar error untuk populasi tidak terbatas

b. Standar error untuk populasi yang terbatas dan n/N > 0,05:

Gambar 4.6. Interval Keyakinan Distribusi Normal Dan Standar Deviasi Populasi Tidak Diketahui

3. Distribusi sampling mendekati normal dan standar deviasi populasi tidak diketahui dengan rumus:

2. Interval Keyakinan Selisih Rata-rata dan Proporsi
a. Interval keyakinan untuk Selisih Rata-rata dapat dihitung dengan rumus :Probabilitas :

Di mana standar error dari nilai selisih rata-rata adalah:

Apabila standar deviasi dari populasi tidak ada, maka dapat diduga dengan
standar deviasi sampel yaitu:

Di mana:
x1-x2: Standar deviasi selisih rata-rata populasi
sx1-x2  : Standar error selisih rata-rata
sx1, sx1: Standar deviasi sampel dari dua populasi
n1, n2: Jumlah sampel setiap populasi
b. Interval keyakinan untuk Selisih Proporsi dapat dihitung dengan rumus :
Probabilitas : ((p1-p2) - Z/2. sp1-p2) <(P1-P2) < (p1-p2) + Z/2. sp1-p2)
Di mana standar error dari nilai selisih proporsi adalah:

Ket :
p1, p2 : Proporsi sampel dari dua populasi
Sp1, sp1 : Standar error selisih proporsi dari dua populasi
n1, n2 : Jumlah sampel setiap populasi
F. Memilih Ukuran Sampel
Faktor yang mempengaruhi jumlah sampel adalah :
1. Tingkat keyakinan yang dipilih.
2. Kesalahan maksimum yang diperbolehkan.
3. Variasi dari populasi.
Rumus menghitung jumlah sampel dapat dilakukan dengan dua metode yaitu:
1) Rumus jumlah sampel untuk menduga rata-rata populasiRumus jumlah sampel dalam populasi dirumuskan sebagai berikut:

Rumus tersebut diturunkan dari interval keyakinan sebagaimana diuraikan sebagai berikut:

2) Rumus jumlah sampel untuk menduga rata-rata proporsi populasiUntuk mendapatkan rumus jumlah sampel dalam pendugaan proporsi populasi dapat diturunkan sebagai berikut: